*** Équation différentielle y' = ay + f (2)

Partie A - Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle \((E)\) :  \(y'+ 5y = 5x^3 +3x^2 +5\) , où \(y\) représente une fonction de la variable \(x\) , définie et dérivable sur \(\mathbb R\) .

1. Résoudre  sur  \(\mathbb R\) l'équation différentielle \((E_{0})\)  : \(y'+ 5y = 0\) .

2. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(u\) , définie sur \(\mathbb R\) par \(u(x) = ax^3 + b\) , est solution de l'équation différentielle \((E)\) .

3. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1\) , où \(k\) est un nombre réel.
    a. Vérifier que  \(h\) est solution  sur  \(\mathbb R\) de l'équation \((E)\) .
    b. Déterminer le réel  \(k\) tel \(h(0) = - 2\) .

Partie B - Étude de la fonction \(f\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x) = - 3\text{e}^{-5x} + x^3 + 1\) .

1. a. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(- \infty\) .
     b. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+ \infty\) .

2. a. On désigne par \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\) . Calculer \(f'(x)\) pour tout réel \(x\) .
     b. En déduire le sens de variation de la fonction  \(f\) sur \(\mathbb R\) et dresser son tableau de variations.

3. a. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\) .
     b. Établir que l'équation \(f(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l'intervalle \([0~;~1]\) .
     c. Donner un encadrement d'amplitude \(10^{- 2}\) du nombre réel \(\alpha\) .
     d. Déterminer, selon les valeurs du réel   \(x\) , le signe de \(f(x)\) .